بلور شناسی و بسط آن

جان كان

كندوكاو در پیامدهای ناشی از تغییرات تعاریف و اصول بنیادی یك رشته، ممكن است برای ریاضیدانان كوششی پراجر باشد. در بهترین وضعیف، این تلاشی است برای مجردسازی با پیامدهایی گسترده، كه هم لذت فكری و هم لذت زیبایی شناختی دارد. عامل برانگیزنده در این كار، گاهی مشاهده تجربی است. گزارش نوامبر 1984، حاكی از كشف بلورهای شبه تناوبی – به طور مختصر شبه بلورها – همچنین اثری داشت. این كشف پرسش‌های ریاضی بسیاری را مطرح ساخت و فعالیت‌های شدیدی را در زمینه‌های گوناگون هندسه برانگیخت: چه چیزی به معنای ترتیبی منظم از نقاط در فضا و یا تقسیم بندی منظم فضاست، و تعریف بلور چه باید باشد؟ این جوش و خروش هنوز هم ادامه دارد. در این كتاب عالی، مارجری سنكال، استاد ریاضیات كالج اسمیت، آنچه را كه به هنگام بازنگری، اصلاح و یا مردود شمردن ایده‌های پذیرفته شده می‌بایست رخ می‌داد، برایمان توضیح می‌دهد. راه‌های ممكن گوناگون و تعاریف و اصول بنیادی مختلفی برای كندوكاو موجود بوده‌اند و هنوز هم هستند. از آنجا كه ساخت و پرداخت هر كدام با منطق و اثبات دقیق همراه است، هیچ‌یك نادرست نیست؛ هر یك نتایج مخصوص به خود را در بردارد، و برخی به نتایجی جالب‌تر از بقیه می‌رسند. اینكه كدام راه را باید انتخاب كرد، تابع ملاحظات ذهنی و زیبایی شناختی است؛ استدلال‌های منطقی و اثبات‌های دقیق ریاضی از چنین انتخاب‌هایی نتیجه می‌شوند. كتاب سنكال طریقه مضاعفی را در پیش می‌گیرد: مطرح كردن روش‌های ممكن جدید و پرسش‌های ذهنی، و همینطور ارائه خشك و منطقی ساخته‌های ریاضی، كه از جذابیت دو چندان برخوردار می‌شود زیرا نویسنده در تفهیم این اهداف كوشیده است. این برای یك كتاب ریاضی روشی غیر معمول است؛ پیش از هر بخش ریاضی، نیم نگاهی به اهداف می‌شود و سپس توضیحی از دست‌یافت‌ها می‌آید. پایبند ماندن به اصل تناوبی بودن در بلور شناسی، یا تعریف بلور به صورت تشكل واحدهای ساختاری كه متناوباً تكرار می‌شوند، شبه بلورها را طبق تعریف از بلورشناسی كنار می‌گذاشت. سنكال ما را در مسیر تاریخی پیش می‌برد تا نشان بدهد كه چگونه تناوبی بودن جزو لاینفك بلورشناسی شد، و در عین حال نشان بدهد كه چطور اصول ممكن دیگری هم، خیلی پیش از ورود شبه بلورها، بررسی و كاویده شده بودند. در سال 1992 شبه بلورها هم بلور شدند؛ این هنگامی بود كه كمیته‌ای از اتحادیه بین‌المللی بلور شناسان، به همراه سنكال به عنوان یكی از اعضای كمیته، پیشنهاد كرد كه دارا بودن طرح پراش گسسته، تعریف بلور باشد. چنین تعریفی پیامدهای بسیار بیشتری دارد. تاكنون ریاضیدان‌ها دسته‌های جدیدی از اشیاء عجیب را متصور شده‌اند كه اگر به طور فیزیكی تحقق می‌پذیرفتند، بلور تلقی می‌شدند، و همچنین دسته‌هایی دیگر با خصلت‌های بسیار نزدیك به آن‌ها كه بلور تلقی نمی‌شدند. اینكه آیا اشیاء هوشمندانه طراحی شده‌ای مثل كاشی‌های چرخ دنده‌ای كانوی طرح پراش دارند یا خیر، هنوز معلوم نیست.
كاشیكاری یك راه تقسیم بندی منظم فضاست و درك غیر تناوبی بودن اهمیت اساسی دارد. تنوع در كاشی‌كاری‌های كشف شده كه به طور بنیادی با یكدیگر متفاوت هستند، حیرت انگیز است، و فصلی در كتاب با عنوان جهان غیر تناوبی‌ها به همین موضوع اختصاص داده شده است. اما برای اتم‌ها، بر خلاف كاشی‌ها، این شرط لازم نیست كه فضا را بدون اینكه از هم فاصله بگیرند پركنند. با در نظر نگاه داشتن شبه بلورها، سنكال ما را با مفاهیم دیگری از آرایه‌های فضایی منظم آشنا می‌كند. در فصل‌هایی به نظم بر روی خط و نظم در ترتیب مجموعه نقاط در فضا، مانند مجموعه‌های دلون و یاخته‌های ورونویی متعلق به آن‌ها پرداخته است. دنباله‌های فیبوناچی تبیین شده‌اند، و اجسام تناوبی در ابعاد بالاتر، كه در آن‌ها تقارن‌های تازه‌ای موجودند. با اجسام شبه بلوری در ابعاد پایین‌تر مرتبط شده‌اند. فصلی از كتاب آشنایی با هندسه پراش نام دارد، و از آنجایی كه پراش راهی برای تشكیل یك تبدیل است، در فصل بعدی با عنوان اطلس تبدیل‌های كاشی‌كاری به ارائه طرح‌های پراش گونه‌های مختلف كاشی‌كاری‌های غیر تناوبی در صفحه پرداخته شده است. با اینهمه، این كتابی ریاضی است؛ بخش‌های ریاضی، نوعاً مختصر و فشرده هستند. البته پیوستی سودمند با عنوان جعبه ابزار ریاضی تا حدی این اختصار را جبران می‌كند، ولی حتی خود آن هم مختصر است. تعاریف، قضیه‌ها و لم‌ها دقیق هستند و بیانی مختصر و مفید دارند؛ اگرچه اغلب اینها فقط در قالب كاربردهای بعدی برای من معنی پیدا كردند. برای مطالعه عمیق این كتاب، آشنایی با نمادگذاری‌های جدید ریاضی، بسیار بیش از آنچه علاقه‌مندان غیر متخصص با آن آشنا هستند، لازم است. با این حال، بدون درگیری با قسمت‌های دشوار هم می‌توان بهره زیادی از كتاب برد. نویسنده برای نیل به هدفی كه برای این كتاب قائل شده است شایستگی كامل دارد. خانم سنكال تا قبل از سال 1984 در زمینه‌هایی از بلور شناسی ریاضیاتی فعال بود. او به تاریخچه ریاضیات بلورشناسی آگاهی دارد، و دید تاریخی جامعی ارائه می‌دهد تا زمینه را برای تشریح ماوقع در ده سال آخر فراهم می‌كند. از بخت خوش، سنكال یكی از برگزاركنندگان كارگاه ریاضیات بلورشناسی در انستیتو مطالعات علمی پیشرفته (IHES) در فرانسه در ژانویه سال 1985 بود. در این كارگاه، كه از مدت‌ها قبل برای آن برنامه ریزی شده بود، مطالبی از قبیل بلورهای مدوله شده، صورت‌های تعمیم یافته كاشی‌كاری‌های غیر تناوبی پنرز و امان، و بلورشناسی در ابعاد بالاتر، به طور فشرده بررسی شد. اینها همگی مباحثی بودند كه مستقیماً در شبه بلورها كاربرد داشتند. دعوتی كه در آخرین روزها از برخی كاشفان شبه بلورها به عمل آمد، موجب جلب توجه زیادی به جنبه‌های ریاضی این مباحث شد. سنكال عضو فعالی در این تحقیق بود و نشان داد كه تاریخچه نگار توانمندی در این زمینه است. گزارش‌های متعدد منتشر شده او و این كتاب، شرحی است از جست و جو برای مسیرهای نوین مطالعاتی و از هیجان ناشی از نتایج جدید. حكایت ارزشمندی است از ده سال هیجان‌انگیز.